ENEM 2018 · questão 156

Questão 156 ENEM 2018: Estatística

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Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6h 15 min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6 h 21 min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6 h 22 min.

A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6 h 21 min da manhã é, no máximo,

  1. A
    \(\dfrac{4}{21}\)
  2. B
    \(\dfrac{5}{21}\)
  3. C
    \(\dfrac{6}{21}\)
  4. D
    \(\dfrac{7}{21}\)
  5. E
    \(\dfrac{8}{21}\)
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Gabarito: Alternativa D: \(\dfrac{7}{21}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: com 21 dados ordenados, a mediana é o 11º valor; a moda obriga 6 h 21 min a aparecer mais vezes que qualquer outro horário.

  1. Mediana = 11º termo = 6 h 22 min. Então os 10 primeiros termos são horários \(\leq\) 6 h 22 min, e entre eles estão todas as ocorrências de 6 h 21 min e dos horários anteriores.
  2. Seja \(k\) o número de vezes que aparece 6 h 21 min e \(b\) o número de dias antes de 6 h 21 min. Como esses valores ficam entre os 10 primeiros: \(b + k \leq 10\).
  3. Antes de 6 h 21 min só existem 6 horários possíveis (6 h 15 a 6 h 20), cada um com menos de \(k\) ocorrências: \(b \leq 6(k-1)\).
  4. Testando: \(k=2 \Rightarrow b \leq \min(8, 6) = 6\); \(k=3 \Rightarrow b \leq \min(7, 12) = 7\); \(k=4 \Rightarrow b \leq 6\). O máximo é \(b = 7\) (sete horários diferentes ou repetidos no máximo 2 vezes, e os 11 dias restantes a partir de 6 h 22 min com no máximo 2 repetições cada).
  5. Probabilidade máxima: \(\dfrac{7}{21}\).

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: \(\tfrac{8}{21}\) esquece que 6 h 21 min precisa aparecer pelo menos 2 vezes entre os 10 primeiros e ainda ser a moda.

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