FUVEST 2024 · questão 34

Questão 34 FUVEST 2024: Estatística

Matemática › EstatísticaVestibulares

Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12.

Assinale a alternativa que representa a quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição:

moda = mediana = média = amplitude = 23.

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. C
    11
  4. D
    22
  5. E
    44
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Gabarito: Alternativa A: 8.

Resolução comentada

Ideia-chave: organizar a lista \(a \le b \le c \le d \le e\) e traduzir cada condição em equação.

  1. Tradução das condições:
    • mediana 23: \(c = 23\);
    • média 23: \(a + b + c + d + e = 115\);
    • amplitude 23: \(e = a + 23\);
    • moda 23: o número 23 aparece pelo menos duas vezes, e mais vezes que qualquer outro.
  2. Caso \(b = 23\) (com \(d \ne 23\)). Substituindo na soma: \[a + 46 + d + a + 23 = 115 \;\Rightarrow\; d = 46 - 2a\]
    • É preciso \(23 < d \le a + 23\), o que dá \(\frac{23}{3} \le a < 11{,}5\).
    • Assim, \(a \in \{8, 9, 10, 11\}\): 4 listas (por exemplo, \(8, 23, 23, 30, 31\)).
  3. Caso \(d = 23\) (com \(b < 23\)). Substituindo na soma: \[2a + b = 46 \;\Rightarrow\; b = 46 - 2a\]
    • É preciso \(a \le b < 23\), o que dá \(11{,}5 < a \le 15\).
    • Assim, \(a \in \{12, 13, 14, 15\}\): 4 listas (por exemplo, \(15, 16, 23, 23, 38\)).
  4. Caso \(b = d = 23\): a soma dá \(2a = 23\), sem solução inteira.
  5. Em nenhuma das listas encontradas outro número se repete, então a moda é única.

Total: \(4 + 4 = 8\) listas.

Resposta: alternativa A.

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