ENEM 2019 · questão 157

Questão 157 ENEM 2019: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos.
Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura.

Figura da questão

Essa luminária terá por faces

  1. A
    4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
  2. B
    2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
  3. C
    4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
  4. D
    3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
  5. E
    3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
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Gabarito: Alternativa A: 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros..

Resolução comentada

Ideia-chave: cada corte num vértice cria um triângulo novo e transforma as faces triangulares originais em hexágonos.

  1. O tetraedro regular tem 4 faces (triângulos equiláteros) e 4 vértices.
  2. Em cada vértice faz-se um corte paralelo à face oposta, removendo \(\tfrac{1}{3}\) de cada aresta que sai dele (como mostra a figura). Cada corte gera um triângulo equilátero de lado \(\tfrac{a}{3}\): são 4 triângulos.
  3. Cada face original perde seus 3 cantos. Sobra, em cada lado da face, o terço central de cada aresta e surgem 3 novos lados de medida \(\tfrac{a}{3}\): a face vira um polígono de 6 lados iguais a \(\tfrac{a}{3}\), com ângulos de \(120^\circ\) — um hexágono regular.
  4. Total de faces: \(4\) hexágonos regulares \(+ 4\) triângulos equiláteros \(= 8\) faces.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: as alternativas C e D surgem de quem imagina que o corte gera quadriláteros; B e E erram a contagem, pois todas as 4 faces originais são truncadas igualmente.

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