ENEM 2019 · questão 171

Questão 171 ENEM 2019: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas  numerações, conforme ilustrado na figura.

Figura da questão

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

  1. A
    \(C_{12}^{4} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{2}\)
  2. B
    \(C_{12}^{4} + C_{8}^{3} + C_{5}^{3} + C_{2}^{2}\)
  3. C
    \(C_{12}^{4} \times 2 \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{2}\)
  4. D
    \(C_{12}^{4} + 2 + C_{12}^{3} + C_{12}^{3}\)
  5. E
    \(C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}\)
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Gabarito: Alternativa E: \(C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: as posições dos vagões são fixas (1 a 12); contar trens é escolher quais posições recebem cada cor, uma cor de cada vez (princípio multiplicativo).

  1. Escolha as posições dos 4 vagões vermelhos entre as 12: \(C_{12}^{4}\).
  2. Dos 8 lugares restantes, escolha os 3 azuis: \(C_{8}^{3}\).
  3. Dos 5 restantes, escolha os 3 verdes: \(C_{5}^{3}\).
  4. Os 2 últimos lugares ficam com os amarelos: \(C_{2}^{2} = 1\).
  5. Como as escolhas são sucessivas e simultâneas, multiplicam-se: \[ C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2} \] (Equivale à permutação com repetição \(\dfrac{12!}{4!\,3!\,3!\,2!}\).)

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a alternativa B soma as combinações, mas as etapas são simultâneas (multiplica-se); a A escolhe sempre entre 12 posições, permitindo que dois vagões ocupem o mesmo lugar.

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