ENEM 2019 · questão 175

Questão 175 ENEM 2019: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Uma construtora pretende conectar um reservatório central (\(R_c\)) em formato de um cilindro, com raio interno igual a \(2\ \text{m}\) e altura interna igual a \(3{,}30\ \text{m}\), a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (\(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) e \(R_4\)), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo \(1{,}5\ \text{m}\).

Figura da questão

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com \(0{,}10\ \text{m}\) de diâmetro interno e \(20\ \text{m}\) de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório.
Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

  1. A
    1,44.
  2. B
    1,16
  3. C
    1,10.
  4. D
    1,00.
  5. E
    0,95.
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Gabarito: Alternativa D: 1,00..

Resolução comentada

Ideia-chave: a água se conserva: o volume inicial do reservatório central se distribui entre os cinco reservatórios (mesma altura final) e os canos, que ficam cheios.

  1. Volume inicial no central (\(r = 2\), \(h = 3{,}30\)): \[ V = \pi \cdot 2^2 \cdot 3{,}30 = 13{,}2\pi\ \text{m}^3 \]
  2. Cada cano: raio \(0{,}05\ \text{m}\), comprimento \(20\ \text{m}\): \[ \pi \cdot 0{,}05^2 \cdot 20 = 0{,}05\pi \;\Rightarrow\; 4 \text{ canos}: 0{,}2\pi \]
  3. Com altura final \(h\) em todos os reservatórios: \[ \pi \cdot 2^2 h + 4 \cdot \pi \cdot 1{,}5^2 h = 4\pi h + 9\pi h = 13\pi h \]
  4. Conservação do volume: \[ 13\pi h + 0{,}2\pi = 13{,}2\pi \;\Rightarrow\; 13h = 13 \;\Rightarrow\; h = 1\ \text{m} \]

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: desprezar a água retida nos canos dá \(h = \tfrac{13{,}2}{13} \approx 1{,}015\), que não aparece; considerar só os auxiliares (sem o central) leva a \(1{,}44\) (A).

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