ENEM 2019 · questão 177

Questão 177 ENEM 2019: Trigonometria

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Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

descreve como varia a altura \(h\), medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo \(t\), medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro \(\beta\), que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante \(t = 0\)), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de \(6\ \text{cm}\).

Para os cálculos, utilize \(3\) como aproximação para \(\pi\).

Figura da questão

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro \(\beta\), de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    4.
  4. D
    5.
  5. E
    8.
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Gabarito: Alternativa D: 5..

Resolução comentada

Ideia-chave: resolva \(h(t) = 6\) e exija que a terceira solução ocorra antes de \(t = 4\ \text{s}\).

  1. Pela figura, \(h(t) = 4 + 4\,\text{sen}\!\left(\dfrac{\beta t}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) = 4 - 4\cos\!\left(\dfrac{\beta t}{2}\right)\).
  2. Altura igual a 6: \[ 4 - 4\cos\theta = 6 \;\Rightarrow\; \cos\theta = -\frac{1}{2}, \quad \theta = \frac{\beta t}{2} \]
  3. Soluções com \(\theta \ge 0\): \(\dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3},\ \dfrac{8\pi}{3},\ \ldots\) A terceira é \(\theta = \dfrac{8\pi}{3}\): \[ \frac{\beta t}{2} = \frac{8\pi}{3} \;\Rightarrow\; t = \frac{16\pi}{3\beta} = \frac{16}{\beta} \quad (\pi = 3) \]
  4. Condição \(t < 4\): \[ \frac{16}{\beta} < 4 \;\Rightarrow\; \beta > 4 \] O menor inteiro é \(\beta = 5\).

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: \(\beta = 4\) (C) faz a terceira passagem ocorrer exatamente em \(t = 4\), e não "em menos de 4 segundos"; quem conta só duas passagens obtém \(\beta = 2\) ou menor.

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