ENEM 2020 · questão 141

Questão 141 ENEM 2020: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto por peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo.

Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?

  1. A
    160
  2. B
    157
  3. C
    130
  4. D
    120
  5. E
    60
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Gabarito: Alternativa A: 160.

Resolução comentada

Ideia-chave: conte separadamente as aparições do algarismo 2 na casa das centenas, das dezenas e das unidades.

  1. Centenas: todos os quartos de 200 a 299 têm o 2 na centena: \[ 100 \text{ peças} \]
  2. Dezenas: em cada andar, os números de dezena 2 são \(\_20\) a \(\_29\): 10 por andar. \[ 3 \cdot 10 = 30 \text{ peças} \]
  3. Unidades: em cada andar, de 10 em 10 aparece um final 2 (\(\_02, \_12, \ldots, \_92\)): 10 por andar. \[ 3 \cdot 10 = 30 \text{ peças} \]
  4. Total: \[ 100 + 30 + 30 = 160 \] (Números como 222 usam três peças, e isso já está contado em cada posição.)

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a alternativa B (157) desconta indevidamente repetições como 222; a C (130) esquece uma das posições em um dos andares; a E (60) ignora a casa das centenas.

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