ENEM 2020 · questão 149

Questão 149 ENEM 2020: Função exponencial e logaritmo

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A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (\(f\)) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (\(r\)). Ela é dada por

Figura da questão

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, \(r = 1\) para a palavra mais frequente, \(r = 2\) para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. \(A\) e \(B\) são constantes positivas.

Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).

Com base nos valores de \(X = \log(r)\) e \(Y = \log(f)\), é possível estimar valores para \(A\) e \(B\). No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre \(Y\) e \(X\) é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa A.

Resolução comentada

Ideia-chave: aplicar logaritmo dos dois lados transforma a potência em uma relação linear entre \(\log f\) e \(\log r\).

  1. Parta da lei \( f = \dfrac{A}{r^B} \) e tome o logaritmo: \[ \log f = \log A - \log\left(r^B\right) \]
  2. Use a propriedade da potência, \( \log\left(r^B\right) = B\log r \): \[ \log f = \log A - B\log r \]
  3. Substitua \( Y = \log f \) e \( X = \log r \): \[ Y = \log A - B\cdot X \]
  4. Repare que é uma reta de coeficiente angular \(-B\) e coeficiente linear \(\log A\) — é assim que se estimam as constantes num gráfico log × log.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: as demais tratam \(\log\) como se distribuísse sobre quociente ou potência de forma errada, por exemplo escrevendo \(\log(A)/B\) ou deixando \(X^B\), o que não segue das propriedades dos logaritmos.

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