ENEM 2020 · questão 161

Questão 161 ENEM 2020: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d’água do tipo A.

Se \(R\) denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa B.

Resolução comentada

Ideia-chave: volume do cilindro \( V = \pi r^2 h \); se a altura cai para um quarto, o raio ao quadrado precisa quadruplicar.

  1. Seja \(h\) a altura da caixa A. A caixa B tem altura \( 0{,}25h = \dfrac h4 \).
  2. Iguale os volumes, com \(r\) o raio de B: \[ \pi R^2 h = \pi r^2 \cdot \frac h4 \]
  3. Cancele \( \pi h \): \[ R^2 = \frac{r^2}{4} \;\Rightarrow\; r^2 = 4R^2 \;\Rightarrow\; r = 2R \]
  4. Conferência: \( \pi (2R)^2 \cdot \tfrac h4 = \pi \cdot 4R^2 \cdot \tfrac h4 = \pi R^2 h \). Volumes iguais.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \(4R\) (C) é o erro de compensar a altura diretamente no raio, esquecendo que o raio entra ao quadrado no volume; \(R/2\) (A) inverte a relação.

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