ENEM 2020 · questão 172

Questão 172 ENEM 2020: Geometria espacial

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No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

Figura da questão

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto \(C\) (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.

Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

  1. A
    4,00.
  2. B
    4,87.
  3. C
    5,00.
  4. D
    5,83.
  5. E
    6,26.
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Gabarito: Alternativa A: 4,00..

Resolução comentada

Ideia-chave: cada mangueira é uma geratriz do cone; o raio sai do teorema de Pitágoras com a altura de 3 m.

  1. A circunferência é dividida em 20 arcos iguais, logo são 20 mangueiras de mesmo comprimento. Com exatamente 100 m: \[ g = \frac{100}{20} = 5\ \text{m} \]
  2. Altura do cone (ponto do poste): \( h = 3\ \text{m} \). A geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo: \[ g^2 = h^2 + r^2 \;\Rightarrow\; 25 = 9 + r^2 \]
  3. Então \[ r^2 = 16 \;\Rightarrow\; r = 4\ \text{m} \] (é o triângulo 3-4-5).

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: 5,00 (C) confunde o raio com a geratriz; 5,83 (D) vem de \( \sqrt{3^2+5^2} \), usando a mangueira como cateto em vez de hipotenusa.

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