ENEM 2021 · questão 168

Questão 168 ENEM 2021: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas.

Figura da questão

Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?

  1. A
    1, 2, 3 e 4
  2. B
    1 e 3
  3. C
    1
  4. D
    2
  5. E
    4
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Gabarito: Alternativa E: 4.

Resolução comentada

Ideia-chave: faces opostas não compartilham vértice; identifique os vértices da face cinza e veja qual face numerada não toca nenhum deles.

  1. Na planificação, chame de \(a\), \(b\), \(c\) os vértices da face cinza. O triângulo do meio da última linha (vizinho da cinza) tem vértices \(a\), \(b\) e um ponto \(p\).
  2. O ponto \(p\) é comum a quatro triângulos: a face 4, o triângulo à direita de 4, o triângulo do meio e o da esquerda da última linha. Num octaedro, cada vértice tem exatamente 4 faces, então \(p\) é um vértice completo.
  3. Como \(p\) é ligado a \(a\) e a \(b\), ele é o vértice oposto a \(c\). Das 4 faces em \(p\), três tocam \(a\) ou \(b\) (os três triângulos vizinhos da parte inferior); a única que não contém \(a\), \(b\) nem \(c\) é a face 4.
  4. Conferência: na montagem, o vértice superior comum às faces 1, 2 e 3 coincide com \(c\), logo nenhuma delas é oposta à cinza.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: as alternativas A e B esquecem que cada face tem uma única oposta.

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