ENEM 2022 · questão 148

Questão 148 ENEM 2022: Razão, proporção e regra de três

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A luminosidade \(L\) de uma estrela está relacionada com o raio \(R\) e com a temperatura \(T\) dessa estrela segundo a Lei de Stefan-Boltzmann: Figura da questão em que c é uma constante igual para todas as estrelas.

Disponível em: http://ciencia.hsw.uol.com.br. Acesso em: 22 nov. 2013 (adaptado)

Considere duas estrelas \(E\) e \(F\), sendo que a estrela \(E\) tem metade do raio da estrela \(F\) e o dobro da temperatura de \(F\).

Indique por \(L_E\) e \(L_F\) suas respectivas luminosidades. A relação entre as luminosidades dessas duas estrelas é dada por

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa D.

Resolução comentada

Ideia-chave: substituir as relações entre os raios e as temperaturas na Lei de Stefan-Boltzmann, \(L = c \cdot R^2 \cdot T^4\), e comparar as luminosidades.

  1. Para a estrela F: \(L_F = c \cdot R_F^2 \cdot T_F^4\).
  2. Para a estrela E, sabemos que \(R_E = \frac{R_F}{2}\) e \(T_E = 2T_F\).
  3. Substituindo: \[L_E = c \left(\frac{R_F}{2}\right)^2 (2T_F)^4 = c \cdot \frac{R_F^2}{4} \cdot 16\,T_F^4.\]
  4. Simplificando: \[L_E = \frac{16}{4} \cdot c\,R_F^2\,T_F^4 = 4L_F.\]
  5. Ou seja, reduzir o raio à metade divide a luminosidade por 4, mas dobrar a temperatura a multiplica por \(2^4 = 16\). O efeito final é multiplicar por 4.

Por que não as outras: \(L_E = L_F\) aparece para quem acha que dividir por 2 e multiplicar por 2 se cancelam, esquecendo os expoentes; \(8L_F\) surge de quem esquece de elevar ao quadrado a razão dos raios: \(\frac{16}{2} = 8\).

Resposta: alternativa D.

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