ENEM 2022 · questão 155

Questão 155 ENEM 2022: Análise combinatória

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Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa B.

Resolução comentada

Ideia-chave: em cada andar, escolher 2 apartamentos entre os que servem (a ordem não importa, logo é combinação) e multiplicar pelo número de andares.

  1. Para que pelo menos um quarto receba sol de manhã, o apartamento deve terminar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. São 6 apartamentos por andar. Os finais 7 e 8 só recebem sol à tarde e ficam de fora.
  2. Os dois apartamentos precisam estar no mesmo andar. Escolher 2 entre 6, sem importar a ordem: \[C_{6,2} = \frac{6!}{(6-2)!\,2!} = 15.\]
  3. Há 9 andares, e a escolha pode ser feita em qualquer um deles: \[9 \cdot \frac{6!}{(6-2)!\,2!} = 9 \cdot 15 = 135.\]

Por que não as outras: \(9 \cdot \frac{6!}{(6-2)!}\) é um arranjo, que conta cada par duas vezes; \(9 \cdot \frac{4!}{(4-2)!\,2!}\) considera só os finais 3 a 6, esquecendo que os finais 1 e 2 também recebem sol de manhã; \(9 \cdot \frac{2!}{(2-2)!\,2!}\) considera só os finais 1 e 2.

Resposta: alternativa B.

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