ENEM 2022 · questão 156

Questão 156 ENEM 2022: Geometria plana

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O professor de artes orientou seus estudantes a realizarem a seguinte sequência de atividades:
• Dobrar uma folha de papel em formato quadrado duas vezes, em sequência, ao longo das linhas tracejadas, conforme ilustrado nas figuras 1 e 2, para obter o papel dobrado, conforme Figura 3.

Figura da questão

• Em seguida, no papel dobrado da Figura 3, considerar o ponto \(R\), sobre o segmento \(OM\), sendo o ponto médio do lado do quadrado original, de modo que Figura da questão, traçar um arco de circunferência de raio medindo Figura da questão com centro no ponto \(R\), obtendo a Figura 4. Por último, recortar o papel ao longo do arco de circunferência e excluir a parte que contém o setor circular, obtendo o papel dobrado, conforme Figura 5.

Figura da questão

Após desdobrado o papel que restou na Figura 5, a figura plana que os estudantes obterão será

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa C.

Resolução comentada

Ideia-chave: desdobrar é refletir o corte em cada dobra: o arco recortado no papel dobrado em 4 camadas vira 4 círculos iguais, simétricos em relação ao centro do quadrado.

  1. Nas duas dobras, o ponto \(O\) é o centro do quadrado, e \(M\) é o ponto médio de um lado. Sendo \(\ell\) o lado do quadrado, \(OM = \frac{\ell}{2}\).
  2. O centro do arco é \(R\), com \(OR = \frac{1}{4}OM = \frac{\ell}{8}\), e o raio é \(\frac{1}{2}OM = \frac{\ell}{4}\). Como o raio é maior que \(OR\), o círculo cobre o ponto \(O\), e a região retirada contém o centro do quadrado.
  3. Ao desdobrar, a região retirada é a união de 4 círculos de raio \(\frac{\ell}{4}\), com centros a \(\frac{\ell}{8}\) do centro do quadrado, na direção de cada um dos 4 lados.
  4. A união não é um círculo: alcança \(\frac{\ell}{8} + \frac{\ell}{4} = \frac{3\ell}{8}\) na direção dos lados e menos que isso (cerca de \(0{,}32\,\ell\)) na direção das diagonais. O furo tem 4 lobos voltados para os lados, com reentrâncias nítidas nas diagonais.

Por que não as outras: o círculo perfeito exigiria o centro do arco em \(O\); a elipse e o "laço" quebram a simetria de 4 eixos; a alternativa A tem lobos discretos demais para essa sobreposição.

Resposta: alternativa C.

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