ENEM 2022 · questão 169

Questão 169 ENEM 2022: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é \(P\) e área da base é \(A_b\), como segue:

• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da
área da base do modelo I;
• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do
raio da base do modelo I;
• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da
área da base do modelo I;
• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do
raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo
de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade
volumétrica

O modelo escolhido deve ser o

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Gabarito: Alternativa E: V..

Resolução comentada

Ideia-chave: o volume do cilindro é \(V = A_b \cdot h\), com \(A_b = \pi r^2\); dobrar o raio quadruplica a área da base.

  1. Modelo I: \(V_I = A_b \cdot P\).
  2. Modelo II: \(V = \frac{A_b}{2} \cdot 2P = A_b P\), igual ao modelo I.
  3. Modelo III: com metade do raio, a área da base fica \(\frac{A_b}{4}\): \[V = \frac{A_b}{4} \cdot 2P = \frac{1}{2}A_b P.\]
  4. Modelo IV: \(V = 2A_b \cdot \frac{P}{2} = A_b P\), igual ao modelo I.
  5. Modelo V: com o dobro do raio, a área da base fica \(4A_b\): \[V = 4A_b \cdot \frac{P}{2} = 2A_b P.\]
  6. O modelo V tem o dobro da capacidade dos modelos I, II e IV e é o maior de todos.

Por que não as outras: quem acha que dobrar o raio dobra a área da base iguala o modelo V aos demais; o modelo III dobra a profundidade, mas perde 4 vezes em área da base.

Resposta: alternativa E.

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