ENEM 2022 · questão 178

Questão 178 ENEM 2022: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

Uma cozinheira produz docinhos especiais por encomenda. Usando uma receita-base de massa, ela prepara uma porção, com a qual produz 50 docinhos maciços de formato esférico, com 2 cm de diâmetro. Um cliente encomenda 150 desses docinhos, mas pede que cada um tenha formato esférico com 4 cm de diâmetro.

A cozinheira pretende preparar o número exato de porções da receita-base de massa necessário para produzir os docinhos dessa encomenda

Quantas porções da receita-base de massa ela deve preparar para atender esse cliente?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    6
  4. D
    12
  5. E
    24
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Gabarito: Alternativa E: 24.

Resolução comentada

Ideia-chave: o volume da esfera cresce com o cubo do raio; dobrar o diâmetro multiplica o volume por \(2^3 = 8\).

  1. Razão entre os volumes do docinho novo (4 cm de diâmetro) e do original (2 cm de diâmetro): \[\frac{V_{novo}}{V_{orig}} = \left(\frac{4}{2}\right)^3 = 8.\]
  2. Assim, cada docinho grande gasta a massa de 8 docinhos pequenos.
  3. Os 150 docinhos grandes equivalem a: \[150 \cdot 8 = 1\,200 \text{ docinhos pequenos}.\]
  4. Cada porção rende 50 docinhos pequenos: \[\frac{1\,200}{50} = 24 \text{ porções}.\]
  5. Conferência com as fórmulas: \(V_{orig} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3\) e \(V_{novo} = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3\), cuja razão é 8.

Por que não as outras: 6 sai de quem acha que dobrar o diâmetro só dobra o volume (\(\frac{150 \cdot 2}{50}\)); 12 sai de quem usa o fator 4, que vale para áreas; 3 ignora a mudança de tamanho.

Resposta: alternativa E.

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