FUVEST 2019 · questão 51

Questão 51 FUVEST 2019: Geometria espacial

Matemática › Geometria espacialVestibulares

A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões \(20\ \text{cm}\) por \(50\ \text{cm}\), e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de \(10\ \text{cm}\). Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

Figura da questão

  1. A
    \(2{,}1\ \text{m}^3\)
  2. B
    \(2{,}3\ \text{m}^3\)
  3. C
    \(3{,}0\ \text{m}^3\)
  4. D
    \(4{,}2\ \text{m}^3\)
  5. E
    \(6{,}0\ \text{m}^3\)
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Gabarito: Alternativa A: \(2{,}1\ \text{m}^3\).

Resolução comentada

Ideia-chave: decomponha a escada em blocos verticais; o \(k\)-ésimo degrau é um bloco de altura \(10k\) cm, e as alturas formam uma PA.

  1. Cada degrau, visto como uma coluna maciça até o piso, é um paralelepípedo de base \(20\ \text{cm} \times 50\ \text{cm}\) e altura \(10k\ \text{cm}\) (\(k = 1, 2, \ldots, 20\)).
  2. Volume da \(k\)-ésima coluna: \[V_k = 20 \cdot 50 \cdot 10k = 10\,000\,k\ \text{cm}^3 = 0{,}01\,k\ \text{m}^3.\]
  3. Volume total: \[V = 0{,}01\,(1 + 2 + \cdots + 20) = 0{,}01 \cdot \dfrac{20 \cdot 21}{2} = 0{,}01 \cdot 210 = 2{,}1\ \text{m}^3.\]
  4. Conferência com a escada de 4 degraus: \(0{,}01 \cdot 10 = 0{,}1\ \text{m}^3\), coerente com a figura.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: 4,2 m³ (D) vem de usar \(20 \cdot 21\) sem dividir por 2; 2,3 m³ surge de somar até 21 ou errar o termo da PA; 6,0 m³ corresponde a um bloco retangular cheio de altura 2 m.

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