FUVEST 2019 · questão 50

Questão 50 FUVEST 2019: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem \(0{,}1\ \text{mm}\) de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira:

coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza

  1. A
    da altura de um poste.
  2. B
    da altura de um prédio de 30 andares.
  3. C
    do comprimento da Av. Paulista.
  4. D
    da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ).
  5. E
    do diâmetro da Terra.
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Gabarito: Alternativa D: da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ)..

Resolução comentada

Ideia-chave: a cada operação a pilha dobra; depois de \(n\) operações há \(2^{n-1}\) folhas. Use \(2^{10} \approx 10^3\).

  1. Operação 1: 1 folha. Operação 2: +1, total 2. Operação 3: +2, total 4. Em geral, após \(n\) operações: \(2^{n-1}\) folhas.
  2. Após 33 operações: \[2^{32} = 2^2 \cdot (2^{10})^3 \approx 4 \cdot 10^9 \text{ folhas}.\]
  3. Altura: \[4 \cdot 10^9 \cdot 0{,}1\ \text{mm} = 4 \cdot 10^8\ \text{mm} = 4 \cdot 10^5\ \text{m} = 400\ \text{km}.\] (Valor exato: \(2^{32} \approx 4{,}29 \cdot 10^9\), cerca de 430 km.)
  4. Comparando: poste ~10 m; prédio de 30 andares ~100 m; Av. Paulista ~3 km; São Paulo–Rio ~400 km; diâmetro da Terra ~12.700 km.
  5. A ordem de grandeza corresponde à distância entre São Paulo e Rio de Janeiro.

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: quem pensa em crescimento linear (33 folhas) obtém poucos milímetros; quem superestima as potências de 2 vai para o diâmetro da Terra.

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