Questão 4 FUVEST 2021: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: os cinco polígonos se encontram num vértice comum \(V\) (\(3\cdot60^\circ + 2\cdot90^\circ = 360^\circ\)). O pentágono se divide em 5 triângulos \(V C_i C_{i+1}\), cuja área é \(\tfrac12\,|VC_i|\,|VC_{i+1}|\operatorname{sen}\alpha\).

1. Seja \(s\) o lado comum, de modo que \(T = \frac{\sqrt3}{4}s^2\) e \(Q = s^2\). Distâncias de \(V\) aos centros:
   • triângulo: \(\frac{s}{\sqrt3}\), com semiângulo de \(30^\circ\);
   • quadrado: \(\frac{s}{\sqrt2}\), com semiângulo de \(45^\circ\).
2. Ordem ao redor de \(V\) (figura): Q, T, T, Q, T. São 4 pares quadrado–triângulo (ângulo \(75^\circ\)) e 1 par triângulo–triângulo (ângulo \(60^\circ\)).
3. Cada par quadrado–triângulo, com \(\operatorname{sen}75^\circ = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}\): \[ \tfrac12\cdot\tfrac{s}{\sqrt2}\cdot\tfrac{s}{\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} = \frac{s^2}{8}\left(1 + \tfrac{1}{\sqrt3}\right). \]
4. Par triângulo–triângulo: \[ \tfrac12\cdot\tfrac{s^2}{3}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = \frac{s^2}{4\sqrt3}. \]
5. Somando: \[ \frac{s^2}{2} + \frac{s^2}{2\sqrt3} + \frac{s^2}{4\sqrt3} = \frac{s^2}{2} + \frac{\sqrt3}{4}s^2 = \frac{Q}{2} + T. \]

Resposta: alternativa C.