FUVEST 2021 · questão 8

Questão 8 FUVEST 2021: Análise combinatória

Matemática › Análise combinatóriaVestibulares

Um aplicativo de videoconferências estabelece, para cada reunião, um código de 10 letras, usando um alfabeto completo de 26 letras.

A quantidade de códigos distintos possíveis está entre

  1. A
    10 bilhões e 100 bilhões.
  2. B
    100 bilhões e 1 trilhão.
  3. C
    1 trilhão e 10 trilhões.
  4. D
    10 trilhões e 100 trilhões.
  5. E
    100 trilhões e 1 quadrilhão.
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Gabarito: Alternativa E: 100 trilhões e 1 quadrilhão..

Resolução comentada

Ideia-chave: pelo princípio multiplicativo, são \(26^{10}\) códigos. Basta estimar essa potência por meio de potências de 10.

  1. Cada uma das 10 posições admite 26 letras, com repetição: \[ N = 26^{10}. \]
  2. Estimando: \[ 26^2 = 676,\quad 26^4 = 676^2 \approx 4{,}57\cdot10^5, \] \[ 26^5 = 26^4\cdot26 \approx 1{,}19\cdot10^7. \]
  3. Então \[ 26^{10} = (26^5)^2 \approx (1{,}19\cdot10^7)^2 \approx 1{,}41\cdot10^{14}. \]
  4. Ou seja, cerca de 141 trilhões, pois 1 trilhão \(= 10^{12}\).
  5. Logo \(10^{14} < N < 10^{15}\): entre 100 trilhões e 1 quadrilhão.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a D (10 a 100 trilhões) surge de estimativas grosseiras como \(26 \approx 25\): \(25^{10} \approx 9{,}5\cdot10^{13}\), que cai logo abaixo de \(10^{14}\). Aqui a precisão importa.

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