FUVEST 2021 · questão 9

Questão 9 FUVEST 2021: Geometria plana

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Figura da questão

Na figura, os segmentos \(AC\) e \(DE\) são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento \(CD\); o ponto \(B\) pertence ao segmento \(AC\); \(F\) é o ponto médio do segmento \(AB\) e \(ABE\) é um triângulo equilátero.

Além disso, o segmento \(BC\) mede 10 unidades de comprimento e o segmento \(AE\) mede 6 unidades de comprimento.

A medida do segmento \(DF\), em unidades de comprimento, é igual a

  1. A
    14.
  2. B
    15.
  3. C
    16.
  4. D
    17.
  5. E
    18.
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Gabarito: Alternativa A: 14..

Resolução comentada

Ideia-chave: traçar a altura do triângulo equilátero por \(F\). Como \(DE \parallel AC\), essa altura fornece o "desnível" vertical entre \(F\) e \(D\), e Pitágoras resolve.

  1. O triângulo \(ABE\) é equilátero de lado 6. Como \(F\) é ponto médio de \(AB\), o segmento \(EF\) é altura: \[ EF = \frac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3,\quad EF \perp AC. \]
  2. Como \(DE \parallel AC\) e \(CD \perp AC\), a distância entre as retas \(DE\) e \(AC\) é \(CD = EF = 3\sqrt3\).
  3. Distância horizontal de \(F\) até \(C\): \[ FC = FB + BC = 3 + 10 = 13. \]
  4. No triângulo retângulo \(FCD\), com o ângulo reto em \(C\): \[ DF^2 = FC^2 + CD^2 = 13^2 + (3\sqrt3)^2 = 169 + 27 = 196. \]
  5. Logo \(DF = 14\).

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a C (16) usa \(FC = 3 + 10 + 3\) ou altura 3 em vez de \(3\sqrt3\); a B (15) vem de aproximar mal a raiz.

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