FUVEST 2021 · questão 10

Questão 10 FUVEST 2021: Geometria analítica

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Figura da questão

A região hachurada do plano cartesiano \(xOy\) contida no círculo de centro na origem \(O\) e raio 1, mostrada na figura, pode ser descrita por

  1. A
    \(\{(x,y);\ x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } y - x \leq 1\}\).
  2. B
    \(\{(x,y);\ x^2 + y^2 \geq 1 \text{ e } y + x \geq 1\}\).
  3. C
    \(\{(x,y);\ x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } y - x \geq 1\}\).
  4. D
    \(\{(x,y);\ x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } y + x \geq 1\}\).
  5. E
    \(\{(x,y);\ x^2 + y^2 \geq 1 \text{ e } y + x \leq 1\}\).
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Gabarito: Alternativa C: \(\{(x,y);\ x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } y - x \geq 1\}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: a região é o segmento circular entre a corda que liga \((-1, 0)\) a \((0, 1)\) e o arco. Descreva a corda por uma reta e veja de que lado dela fica a região.

  1. Dentro do círculo de raio 1 centrado na origem: \(x^2 + y^2 \le 1\).
  2. Reta pelos pontos \((-1, 0)\) e \((0, 1)\): o coeficiente angular é 1 e o linear é 1, então \[ y = x + 1 \iff y - x = 1. \]
  3. A região hachurada fica acima dessa reta, do lado oposto à origem. Teste com a origem: \(0 - 0 = 0 < 1\), e a origem não está hachurada. Logo a região satisfaz \[ y - x \ge 1. \]
  4. Assim, a região é \[ \{(x,y);\ x^2 + y^2 \le 1 \text{ e } y - x \ge 1\}. \]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a A descreve o lado da origem (\(y - x \le 1\)), quase todo o disco; a D usa a reta \(x + y = 1\), que liga \((1, 0)\) a \((0, 1)\) e fica no 1º quadrante.

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