FUVEST 2021 · questão 11

Questão 11 FUVEST 2021: Funções (afim e quadrática)

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Se \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) são funções dadas por \(f(x) = c + x^2\), onde \(c \in \mathbb{R}\), e \(g(x) = x\), seus gráficos se intersectam quando, e somente quando,

  1. A
    \(c \leq \dfrac{1}{4}\)
  2. B
    \(c \geq \dfrac{1}{4}\)
  3. C
    \(c \leq \dfrac{1}{2}\)
  4. D
    \(c \geq \dfrac{1}{2}\)
  5. E
    \(c \leq 1\)
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Gabarito: Alternativa A: \(c \leq \dfrac{1}{4}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: os gráficos se intersectam quando a equação \(f(x) = g(x)\) tem solução real, ou seja, quando o discriminante é não negativo.

  1. Igualando: \[ c + x^2 = x \iff x^2 - x + c = 0. \]
  2. Há raiz real se, e somente se, \[ \Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot c = 1 - 4c \ge 0. \]
  3. Resolvendo: \[ 1 - 4c \ge 0 \iff c \le \frac{1}{4}. \]
  4. Interpretação: a parábola \(y = x^2 + c\) desce quando \(c\) diminui. Com \(c = \frac14\) ela tangencia a reta \(y = x\) no ponto \(x = \frac12\); com \(c\) menor, corta a reta em dois pontos; com \(c\) maior, fica toda acima dela.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a B inverte o sentido da desigualdade (com \(c\) grande a parábola sobe e se afasta da reta); a C usa o vértice \(x = \frac12\) como se fosse o valor de \(c\).

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