FUVEST 2021 · questão 12

Questão 12 FUVEST 2021: Geometria plana

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Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cm e 35 cm.

A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de

  1. A
    8,0 cm
  2. B
    8,5 cm
  3. C
    9,0 cm
  4. D
    9,5 cm
  5. E
    10,0 cm
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Gabarito: Alternativa C: 9,0 cm.

Resolução comentada

Ideia-chave: o vértice oposto do quadrado precisa tocar a hipotenusa. Semelhança de triângulos dá a fórmula \(\ell = \dfrac{ab}{a+b}\).

  1. Coloque o ângulo reto na origem, com catetos \(a = 12\) (eixo \(y\)) e \(b = 35\) (eixo \(x\)). A hipotenusa é \[ \frac{x}{35} + \frac{y}{12} = 1. \]
  2. O maior quadrado com vértice na origem tem o vértice oposto \((\ell, \ell)\) sobre a hipotenusa: \[ \frac{\ell}{35} + \frac{\ell}{12} = 1 \Rightarrow \ell\cdot\frac{12 + 35}{420} = 1. \]
  3. Então \[ \ell = \frac{420}{47} \approx 8{,}94\ \text{cm}. \]
  4. O valor mais próximo é 9,0 cm.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a B (8,5 cm) e a D (9,5 cm) vêm de arredondamentos errados ou de estimativas grosseiras; a E (10,0 cm) não cabe, porque \(\frac{10}{35} + \frac{10}{12} > 1\).

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