Unicamp 2021 · questão 43

Questão 43 Unicamp 2021: Função exponencial e logaritmo

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Dados preliminares da pandemia do Covid-19 indicam que, no início da disseminação, em determinada região, o número de pessoas contaminadas dobrava a cada 3 dias.

Usando que \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3\) e \(\log_{10} 5 \approx 0{,}7\), após o primeiro contágio, o número de infectados atingirá a marca de 4 mil entre

  1. A
    o 18º dia e o 24º dia.
  2. B
    o 25º dia e o 31º dia.
  3. C
    o 32º dia e o 38º dia.
  4. D
    o 39º dia e o 45º dia.
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Gabarito: Alternativa C: o 32º dia e o 38º dia..

Resolução comentada

Ideia-chave: crescimento que dobra a cada 3 dias é exponencial: \(N(t) = 2^{t/3}\), começando com 1 infectado.

  1. Queremos \(2^{t/3} = 4000\).
  2. Aplicando \(\log_{10}\) dos dois lados: \[\frac{t}{3}\log 2 = \log 4000 = \log(4\cdot 10^3) = 2\log 2 + 3.\]
  3. Com \(\log 2 \approx 0{,}3\): \[\frac{t}{3}\cdot 0{,}3 = 0{,}6 + 3 = 3{,}6 \Rightarrow \frac{t}{3} = 12 \Rightarrow t = 36\ \text{dias}.\]
  4. Conferência: \(2^{12} = 4096 \approx 4000\), ou seja, 12 duplicações de 3 dias cada.
  5. O 36º dia está entre o 32º e o 38º dia.

Por que não as outras: quem esquece que cada duplicação leva 3 dias encontra \(t = 12\), fora de todas as opções; quem usa \(\log 4000 \approx 3{,}4\) erra a decomposição.

Resposta: alternativa C.

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