Questão 24 Unicamp 2022: Trigonometria

Resolução comentada

Ideia-chave: projetar na horizontal os dois trechos que vão de uma margem à outra: metade da popa e o comprimento do navio.

1. Na figura, a popa (60 m) encosta na margem esquerda em um ponto \(P\) e faz ângulo \(\alpha = 67{,}5^\circ\) com a margem. O eixo do navio (tracejado) sai do meio da popa, a 30 m de \(P\), e é perpendicular a ela; a proa toca a margem direita.
2. Projeção horizontal dos 30 m da popa (o ângulo com a vertical é \(\alpha\)): \(30\operatorname{sen}\alpha\).
3. O eixo, perpendicular à popa, forma ângulo \(\alpha\) com a horizontal; projeção dos 400 m: \(400\cos\alpha\). Logo \[L = 400\cos 67{,}5^\circ + 30\operatorname{sen} 67{,}5^\circ.\]
4. Com \(2\cdot 67{,}5^\circ = 135^\circ\) e \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt2}{2}\), as fórmulas dadas fornecem \[\cos 67{,}5^\circ = \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2},\qquad \operatorname{sen} 67{,}5^\circ = \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.\]
5. Então \[L = 200\sqrt{2-\sqrt2} + 15\sqrt{2+\sqrt2} \approx 153{,}1 + 27{,}7 \approx 180{,}8\ \text{m},\] compatível com o canal de no máximo 200 m.

Por que não as outras: a B subtrai a parcela da popa (erro de sinal); a A usa 60 m inteiros; a D usa raízes de 3, que vêm de ângulos de 30°/60°.

Resposta: alternativa C.