Questão 23 Unicamp 2022: Polinômios e números complexos

Resolução comentada

Ideia-chave: se \(p(x)\) é divisível por \(2x^2 - x + 4\), então \(p(x) = (2x^2 - x + 4)(x + m)\).

1. O quociente tem grau 1 e, como o coeficiente de \(x^3\) é 2 nos dois lados, ele é \(x + m\).
2. Desenvolvendo: \[(2x^2 - x + 4)(x + m) = 2x^3 + (2m - 1)x^2 + (4 - m)x + 4m.\]
3. Comparando coeficientes: \[a = 2m - 1,\qquad b = 4 - m,\qquad c = 4m.\]
4. Calculando a expressão: \[c + 2b - a = 4m + 2(4 - m) - (2m - 1) = 4m + 8 - 2m - 2m + 1 = 9.\]
5. O resultado não depende de \(m\): vale 9 para qualquer polinômio que satisfaça a condição. Exemplo: \(m=0\) dá \(a=-1\), \(b=4\), \(c=0\) e \(0 + 8 + 1 = 9\).

Por que não as outras: errar o sinal de \(-a\) (somando \(2m-1\)) gera uma expressão dependente de \(m\), sinal de conta errada.

Resposta: alternativa A.