Unicamp 2023 · questão 66

Questão 66 Unicamp 2023: Geometria espacial

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Um recipiente cilíndrico de altura \(h\) tem água em seu interior.

Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio \(R\) neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.

Figura da questão

Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a

  1. A
    \(2R\).
  2. B
    \(R\).
  3. C
    \(\dfrac{R}{3}\).
  4. D
    \(\dfrac{2R}{3}\).
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Gabarito: Alternativa C: \(\dfrac{R}{3}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: o volume de água deslocado (subida do nível) é igual ao volume da esfera, que fica totalmente submersa.

  1. Raio do cilindro: \(2R\). Se o nível sobe \(\Delta h\), o volume acrescido é o de um cilindro de altura \(\Delta h\): \[V = \pi(2R)^2\,\Delta h = 4\pi R^2\,\Delta h.\]
  2. A figura mostra a esfera totalmente coberta pela água, então o volume deslocado é o volume inteiro da esfera: \[V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3.\]
  3. Igualando: \[4\pi R^2\,\Delta h = \frac43\pi R^3 \Rightarrow \Delta h = \frac{R}{3}.\]

Por que não as outras: usar o raio do cilindro igual a \(R\) (esquecendo o "dobro") dá \(\frac{4R}{3}\); confundir raio com diâmetro, ou usar a área da esfera no lugar do volume, leva a \(R\) ou \(\frac{2R}{3}\).

Resposta: alternativa C.

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