Unicamp 2023 · questão 67

Questão 67 Unicamp 2023: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

Leia o texto a seguir para responder á questão.

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”.

Considere a função

\(y = f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}\), definida para \(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq 1\), que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

Sobre a função inversa de \(f(x)\), é correto afirmar que

  1. A
    \(f^{-1}(x) = f(x)\), para \(x \neq 1\).
  2. B
    \(f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}\), para \(x \neq \pm 1\).
  3. C
    \(f^{-1}(x) = -f(x)\), para \(x \neq 1\).
  4. D
    \(f^{-1}(x) = f(-x)\), para \(x \neq 1\).
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa A: \(f^{-1}(x) = f(x)\), para \(x \neq 1\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: para achar a inversa, troca-se \(x\) por \(y\) (ou isola-se \(x\)) e compara-se com \(f\).

  1. De \(y = \frac{x+1}{x-1}\), isolamos \(x\): \[y(x - 1) = x + 1 \Rightarrow yx - y = x + 1 \Rightarrow x(y - 1) = y + 1.\]
  2. Para \(y \ne 1\): \[x = \frac{y+1}{y-1}.\]
  3. Trocando o nome da variável: \[f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-1} = f(x),\quad x \ne 1.\]
  4. Conferência: \(f(2) = 3\) e \(f(3) = \frac{4}{2} = 2\). Aplicar \(f\) duas vezes volta ao ponto de partida, então \(f\) é a sua própria inversa.

Por que não as outras: a B confunde função inversa com inverso multiplicativo (\(\frac{1}{f(x)}\)); a C e a D surgem de erros de sinal na hora de isolar \(x\).

Resposta: alternativa A.

Mais questões de Funções (afim e quadrática)

Ver todas as questões de Funções (afim e quadrática)