Unicamp 2023 · questão 68

Questão 68 Unicamp 2023: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Leia o texto a seguir para responder á questão.

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”.

Considere a função

\(y = f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}\), definida para \(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq 1\), que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

Considere a sequência \(x_1, x_2, \ldots\), definida por \(x_1 = 6\), e para cada \(n \geq 1\), temos \(x_{n+1} = f(x_n)\), ou seja, \(x_1 = 6\), \(x_2 = f(x_1) = \dfrac{7}{5}\), \(x_3 = f(x_2)\), e assim sucessivamente. Então, a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale

  1. A
    140
  2. B
    370
  3. C
    600
  4. D
    740
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Gabarito: Alternativa B: 370.

Resolução comentada

Ideia-chave: calcule alguns termos; a sequência é periódica, então a soma vira contagem de blocos.

  1. Já temos \(x_1 = 6\) e \(x_2 = \dfrac{7}{5}\).
  2. Calcule \(x_3\): \[x_3 = f\left(\dfrac{7}{5}\right) = \dfrac{\frac{7}{5}+1}{\frac{7}{5}-1} = \dfrac{\frac{12}{5}}{\frac{2}{5}} = 6.\]
  3. Como \(x_3 = x_1\), a sequência se repete com período 2: \(6, \tfrac{7}{5}, 6, \tfrac{7}{5}, \ldots\) (de fato, \(f(f(x)) = x\) para essa função).
  4. Os 100 primeiros termos formam 50 pares \(\left(6, \tfrac{7}{5}\right)\), cada um com soma \[6 + \dfrac{7}{5} = \dfrac{37}{5}.\]
  5. Soma total: \[S_{100} = 50 \cdot \dfrac{37}{5} = 10 \cdot 37 = 370.\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 600 sairia de somar 100 vezes o 6; 140 corresponde a somar 100 vezes o \(\tfrac{7}{5}\). Quem não percebe a periodicidade tenta (sem sucesso) achar uma PA ou PG.

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