Resolução comentada
Ideia-chave: sistema 2×2 com infinitas soluções exige determinante nulo e equações proporcionais (sem contradição).
- Determinante da matriz dos coeficientes:
\[D = \begin{vmatrix} a & -1 \\ 4-5a^2 & a \end{vmatrix} = a^2 + (4 - 5a^2) = 4 - 4a^2.\]
- \(D = 0 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = 1\) ou \(a = -1\). Agora testamos cada valor, pois \(D=0\) pode dar sistema impossível.
- Para \(a = 1\): \(x - y = 1\) e \(-x + y = 1\), isto é, \(x - y = -1\). Contradição: sistema impossível.
- Para \(a = -1\): \(|a| = 1\) e \(4 - 5 = -1\), logo
\[\begin{cases} -x - y = 1 \\ -x - y = 1 \end{cases}\]
as duas equações são idênticas: infinitas soluções.
Resposta: alternativa C.
Por que não as outras: \(a = 1\) também zera o determinante, mas leva a equações incompatíveis (por causa do \(|a|\)); \(a = \pm 2\) dão \(D \neq 0\), sistema com solução única.