Unicamp 2027 (Vestibular 2027 · 1ª fase) · questão 26

Questão 26 Unicamp 2027 · Vestibular 2027 · 1ª fase: Geometria plana

Matemática › Geometria planaVestibulares

A figura a seguir, que também apareceu no Vestibular Unicamp 1987, exibe uma circunferência de centro O e raio \(r\). Considere que o segmento BC mede \(r\) e o ângulo ABO mede 15 graus. Os pontos P, A, C estão na circunferência, e os pontos P, O, B e A, C, B são colineares.

Figura da questão

Se \(r=1\), determine o comprimento do segmento AP.

  1. A
    \(\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)}\).
  2. B
    \(\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)}\).
  3. C
    \(\sqrt{\left(4-\sqrt{2}\right)}\).
  4. D
    \(\sqrt{\left(4+\sqrt{2}\right)}\).
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Gabarito: Alternativa A: \(\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: triângulos isósceles levam ao ângulo central \(A\hat{O}P = 45^\circ\).

  1. \(BC = OC = r\): triângulo \(OCB\) isósceles, então \(C\hat{O}B = 15^\circ\) e o ângulo externo \(O\hat{C}A = 30^\circ\).
  2. \(OA = OC = r\): \(O\hat{A}C = 30^\circ\). No triângulo \(OAB\), o ângulo externo em \(O\) é \(A\hat{O}P = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ\).
  3. Corda com ângulo central de \(45^\circ\) e \(r=1\), pela lei dos cossenos: \[ AP^2 = 1 + 1 - 2\cos 45^\circ = 2 - \sqrt2 \Rightarrow AP = \sqrt{2-\sqrt2} \]

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: \(\sqrt{2+\sqrt2}\) é a corda de um ângulo central de \(135^\circ\); as opções com 4 não saem da lei dos cossenos com \(r=1\).

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