Unicamp 2027 (Vestibular 2027 · 1ª fase) · questão 25

Questão 25 Unicamp 2027 · Vestibular 2027 · 1ª fase: Geometria analítica

Matemática › Geometria analíticaVestibulares

Seja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) uma função com a propriedade de que \(x^3<f(x)<x^2\) para todo \(0<x<1\).

Considere o triângulo de vértices \(P=(0,0)\), \(Q=(1/2,\ f(1/2))\) e \(R=(1/2,\ 1/2)\).

A respeito da área A desse triângulo, é correto afirmar que

  1. A
    \(0<A<3/128\).
  2. B
    \(3/128<A<1/32\).
  3. C
    \(1/32<A<1/16\).
  4. D
    \(1/16<A<3/32\).
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Gabarito: Alternativa D: \(1/16<A<3/32\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: \(Q\) e \(R\) estão na mesma vertical \(x=\tfrac12\); a altura relativa a esse lado é a distância de \(P\) até ela.

  1. Lado \(QR = \tfrac12 - f(\tfrac12)\); altura \(= \tfrac12\). Área: \(A = \dfrac{1}{4}\left(\tfrac12 - f(\tfrac12)\right)\).
  2. Com \(x=\tfrac12\): \(\tfrac18 < f(\tfrac12) < \tfrac14\), logo \(\tfrac14 < \tfrac12 - f(\tfrac12) < \tfrac38\).
  3. \(\tfrac1{16} < A < \tfrac3{32}\).

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: os outros intervalos aparecem ao esquecer o fator \(\tfrac12\) da área do triângulo ou ao trocar os limites de \(f(\tfrac12)\).

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