ENEM 2009 · questão 138

Questão 138 ENEM 2009: Função exponencial e logaritmo

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A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

Figura da questão

Suponha que o modelo exponencial \(y = 363e^{0{,}03x}\), em que \(x = 0\) corresponde ao ano 2000, \(x = 1\) corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que \(y\) é a população em milhões de habitantes no ano \(x\), seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050.

Desse modo, considerando \(e^{0{,}3} = 1{,}35\), estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre

  1. A
    490 e 510 milhões.
  2. B
    550 e 620 milhões.
  3. C
    780 e 800 milhões.
  4. D
    810 e 860 milhões.
  5. E
    870 e 910 milhões.
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Gabarito: Alternativa E: 870 e 910 milhões..

Resolução comentada

Ideia-chave: substituir o ano no modelo exponencial e reescrever a potência de \(e\) usando o valor dado de \(e^{0{,}3}\).

  1. O ano 2030 corresponde a \(x = 30\) (pois \(x = 0\) é 2000).
  2. Substituindo: \[ y = 363\,e^{0{,}03 \cdot 30} = 363\,e^{0{,}9} \]
  3. Como \(0{,}9 = 3 \cdot 0{,}3\): \[ e^{0{,}9} = \left(e^{0{,}3}\right)^3 = 1{,}35^3 = 1{,}8225 \times 1{,}35 \approx 2{,}46 \]
  4. Então: \[ y \approx 363 \times 2{,}46 \approx 893 \text{ milhões} \]
  5. O valor \(893\) está entre 870 e 910 milhões.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: usar \(e^{0{,}3}\) só uma vez (como se \(0{,}9\) fosse \(0{,}3\)) dá \(363 \times 1{,}35 \approx 490\), que leva à alternativa A — e que, aliás, é o valor de 2010 no gráfico.

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