ENEM 2009 · questão 140

Questão 140 ENEM 2009: Geometria plana

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O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que \(AB = \dfrac{BC}{2}\), Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual \(AE = \dfrac{AB}{5}\) é lado do quadrado.

Figura da questão

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele

  1. A
    Duplicasse a medida do lado do quadrado.
  2. B
    Triplicasse a medida do lado do quadrado.
  3. C
    Triplicasse a área do quadrado.
  4. D
    Ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
  5. E
    Ampliasse a área do quadrado em 4%.
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Gabarito: Alternativa C: Triplicasse a área do quadrado..

Resolução comentada

Ideia-chave: comparar a área do quadrado com a área do terreno; a área construída pode ser no máximo \(6\%\) do total.

  1. Seja \(AB = a\). Então \(BC = 2a\) e a área do terreno é: \[ A_{\text{terreno}} = a \cdot 2a = 2a^2 \]
  2. O lado do quadrado é \(AE = \dfrac{a}{5}\), logo: \[ A_{\text{quadrado}} = \left(\frac{a}{5}\right)^2 = \frac{a^2}{25} \]
  3. Fração ocupada hoje: \[ \frac{a^2/25}{2a^2} = \frac{1}{50} = 2\% \]
  4. Preservar no mínimo \(94\%\) significa construir no máximo \(6\%\). Para ir de \(2\%\) para \(6\%\), a área do quadrado deve ser multiplicada por \(3\).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: triplicar o lado (B) multiplica a área por \(9\), chegando a \(18\%\); duplicar o lado (A) leva a \(8\%\), ultrapassando o limite.

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