ENEM 2010 · questão 160

Questão 160 ENEM 2010: Trigonometria

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Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Figura da questão

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de \(60^\circ\); a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de \(30^\circ\).

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

  1. A
    1,8 km
  2. B
    1,9 km
  3. C
    3,1 km
  4. D
    3,7 km
  5. E
    5,5 km
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Gabarito: Alternativa C: 3,1 km.

Resolução comentada

Ideia-chave: a altura do balão é o cateto oposto ao ângulo de observação; com o cateto adjacente conhecido, usa-se a tangente.

  1. Pessoa A, a \(1{,}8\ \text{km}\) da vertical do balão, vê-o sob \(60^\circ\): \[h = 1{,}8 \cdot \tan 60^\circ = 1{,}8\sqrt{3} \approx 1{,}8 \cdot 1{,}73 \approx 3{,}1\ \text{km}.\]
  2. Conferência com a pessoa B, a \(5{,}5\ \text{km}\) (\(1{,}8 + 3{,}7\)), sob \(30^\circ\): \[h = 5{,}5 \cdot \tan 30^\circ = \dfrac{5{,}5\sqrt{3}}{3} \approx 3{,}2\ \text{km}.\]
  3. Os dois cálculos dão aproximadamente \(3{,}1\ \text{km}\) (a diferença vem dos dados arredondados do problema).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: usar seno em vez de tangente ou trocar os catetos leva a valores como \(1{,}8 / \sqrt{3} \approx 1{,}0\) ou à própria distância (1,8 km, A); D (3,7 km) é apenas a distância entre as pessoas.

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