ENEM 2010 · questão 161

Questão 161 ENEM 2010: Geometria plana

Matemática › Geometria planaVestibulares

Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, foram indicadas por letras.

Figura da questão

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

A
À mesma área do triângulo AMC.
B
À mesma área do triângulo BNC.
C
À metade da área formada pelo triângulo ABC.
D
Ao dobro da área do triângulo MNC.
E
Ao triplo da área do triângulo MNC.

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Gabarito: Alternativa E: Ao triplo da área do triângulo MNC..

Resolução comentada

Ideia-chave: o segmento que une pontos médios de dois lados forma um triângulo semelhante ao original com razão \(\dfrac{1}{2}\), logo com área \(\dfrac{1}{4}\) da original.

Pela figura, M é ponto médio de \(BC\) e N é ponto médio de \(AC\); assim \(MN \parallel AB\) e \(MN = \dfrac{AB}{2}\).
O triângulo \(MNC\) é semelhante a \(BAC\) na razão \(\dfrac{1}{2}\); as áreas ficam na razão \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\).
Se \(S\) é a área de \(ABC\), então \(S_{MNC} = \dfrac{S}{4}\).
A região \(ABMN\) (trapézio) tem área \[S - \dfrac{S}{4} = \dfrac{3S}{4} = 3 \cdot S_{MNC}.\]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: quem acha que a área cai na mesma razão dos lados (metade) conclui que o trapézio é metade de \(ABC\) (C) ou o dobro de \(MNC\) (D); os triângulos \(AMC\) e \(BNC\) têm área \(\dfrac{S}{2}\), não \(\dfrac{3S}{4}\).

Resolução comentada

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