ENEM 2010 · questão 164

Questão 164 ENEM 2010: Geometria plana

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Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

Figura da questão

O raio da perfuração da peça é igual a

  1. A
    1 cm.
  2. B
    2 cm.
  3. C
    3 cm.
  4. D
    4 cm.
  5. E
    5 cm.
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Gabarito: Alternativa B: 2 cm..

Resolução comentada

Ideia-chave: o cilindro tangente às três faces laterais tem como base a circunferência inscrita no triângulo da base.

  1. A base tem lados 6, 8 e 10 cm; como \(6^2 + 8^2 = 10^2\), é um triângulo retângulo.
  2. Área: \(A = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24\ \text{cm}^2\). Semiperímetro: \(p = \dfrac{6 + 8 + 10}{2} = 12\ \text{cm}\).
  3. Raio da circunferência inscrita: \[r = \dfrac{A}{p} = \dfrac{24}{12} = 2\ \text{cm}.\]
  4. Conferência no triângulo retângulo: \(r = \dfrac{b + c - a}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = 2\).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: confundir com a circunferência circunscrita dá raio igual a metade da hipotenusa, 5 cm (E); usar o perímetro inteiro no lugar do semiperímetro dá 1 cm (A).

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