ENEM 2010 · questão 165

Questão 165 ENEM 2010: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função

Figura da questão

em que \(T\) é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e \(t\) é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for \(48\ ^\circ\text{C}\) e retirada quando a temperatura for \(200\ ^\circ\text{C}\).

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a

  1. A
    100.
  2. B
    108.
  3. C
    128.
  4. D
    130.
  5. E
    150.
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Gabarito: Alternativa D: 130..

Resolução comentada

Ideia-chave: achar o instante em que \(T = 48\) e o instante em que \(T = 200\), usando o trecho certo da função, e subtrair.

  1. Para \(0 \le t < 100\): \(T = \dfrac{7}{5}t + 20\), que vai de 20 a 160 °C. Logo 48 °C está nesse trecho: \[\dfrac{7}{5}t + 20 = 48 \Rightarrow t = 20\ \text{min}.\]
  2. 200 °C supera 160 °C, então usamos o trecho \(t \ge 100\): \[\dfrac{2}{125}t^2 - \dfrac{16}{5}t + 320 = 200.\]
  3. Multiplicando por \(\dfrac{125}{2}\): \(t^2 - 200t + 7500 = 0\), com \(\Delta = 40\,000 - 30\,000 = 10\,000\).
  4. \(t = \dfrac{200 \pm 100}{2}\), ou seja, \(t = 150\) ou \(t = 50\); só \(t = 150\) satisfaz \(t \ge 100\).
  5. Tempo no forno: \(150 - 20 = 130\) minutos.

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: responder só o instante de retirada dá 150 (E); usar a primeira lei também para 200 °C (\(t = 128{,}6\)) leva perto de C, mas essa lei só vale até \(t = 100\).

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