ENEM 2011 · questão 155

Questão 155 ENEM 2011: Trigonometria

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Figura da questão

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo \(\alpha = 30^\circ\) e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância \(AB = 2\,000\ \text{m}\).

Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo \(P\) será

  1. A
    1 000 m.
  2. B
    \(1\,000\sqrt{3}\ \text{m}\).
  3. C
    \(\dfrac{2\,000\sqrt{3}}{3}\ \text{m}\).
  4. D
    2 000 m
  5. E
    \(2\,000\sqrt{3}\ \text{m}\).
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Gabarito: Alternativa B: \(1\,000\sqrt{3}\ \text{m}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: o ângulo externo \(2\alpha\) em B mostra que o triângulo APB é isósceles; depois, a menor distância é a perpendicular de P à trajetória.

  1. O ângulo interno em B é \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Então, no triângulo APB: \[\hat{P} = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ.\]
  2. Como \(\hat{A} = \hat{P} = 30^\circ\), o triângulo é isósceles: \(BP = AB = 2000\ \text{m}\).
  3. A menor distância de P à trajetória é a altura \(h\) relativa à reta AB, no triângulo retângulo com hipotenusa BP e ângulo de \(60^\circ\) em B: \[h = BP\cdot\sin 60^\circ = 2000\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1000\sqrt{3}\ \text{m}.\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: a D (2 000 m) é a distância BP, não a mínima; a A (1 000 m) usa \(\cos 60^\circ\) no lugar do seno.

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