ENEM 2012 · questão 137

Questão 137 ENEM 2012: Geometria plana

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Figura da questão

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

Figura da questão

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

  1. A
    300%.
  2. B
    200%.
  3. C
    150%.
  4. D
    100%.
  5. E
    50%.
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Gabarito: Alternativa E: 50%..

Resolução comentada

Ideia-chave: em circunferências tangentes centradas em vértices adjacentes, o lado do losango é a soma dos dois raios.

  1. Figura 1: as quatro circunferências são iguais, de raio \(r\), e cada par adjacente é tangente. Lado do losango: \(r + r = 2r\).
  2. Perímetro inicial: \(P_1 = 4 \cdot 2r = 8r\).
  3. Figura 2: duas circunferências opostas passam a ter raio \(2r\); as outras duas continuam com \(r\). Cada lado liga uma circunferência grande a uma pequena: \(2r + r = 3r\).
  4. Perímetro final: \(P_2 = 4 \cdot 3r = 12r\).
  5. Aumento percentual: \[\frac{12r - 8r}{8r} = \frac{4r}{8r} = 0{,}5 = 50\%.\]

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: D (100%) supõe que o lado dobra junto com o raio; mas só um dos dois raios de cada lado foi dobrado.

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