ENEM 2013 · questão 153

Questão 153 ENEM 2013: Função exponencial e logaritmo

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Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área \(S\) da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa \(M\)”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante \(k > 0\), a área \(S\) pode ser escrita em função de \(M\) por meio da expressão:

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa D.

Resolução comentada

Ideia-chave: traduzir "proporcional" em igualdade com constante e isolar \(S\) com potências de expoente fracionário.

  1. "O cubo da área é proporcional ao quadrado da massa": \[S^3 = k\,M^2, \quad k > 0.\]
  2. Para isolar \(S\), extrai-se a raiz cúbica (expoente \(\frac{1}{3}\)) dos dois lados: \[S = \left(k\,M^2\right)^{\frac{1}{3}}.\]
  3. Pela propriedade \((ab)^n = a^n b^n\) e \((a^m)^n = a^{mn}\): \[S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}}.\]
  4. Essa é exatamente a expressão da alternativa D.

Por que não as outras: B e C usam \(M^{\frac{1}{3}}\), esquecendo o quadrado da massa; E mantém \(M^2\) sem aplicar a raiz cúbica sobre ele; A trata a relação como proporcionalidade direta simples.

Resposta: alternativa D.

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