Questão 165 ENEM 2015: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: a nova piscina é formada por três setores circulares de raio \(R\) e ângulo \(60^\circ\). Juntos, eles somam \(180^\circ\), ou seja, meio círculo.

1. Área da nova piscina: \[A = 3\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}\,\pi R^2 = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{3R^2}{2} = 1{,}5\,R^2\] (com \(\pi = 3\)).
2. Área da piscina retangular que já existe: \[50 \cdot 24 = 1\,200\ \text{m}^2\]
3. A nova área precisa ser menor: \[1{,}5\,R^2 < 1\,200 \;\Rightarrow\; R^2 < 800 \;\Rightarrow\; R < \sqrt{800} \approx 28{,}3\]
4. Entre as opções, o maior valor que atende à condição é \(R = 28\). Conferência: \(1{,}5 \cdot 784 = 1\,176 < 1\,200\). Já \(R = 29\) dá \(1\,261{,}5\), que passa do limite.

Por que não as outras: quem usa um único setor de \(60^\circ\) encontra \(R < 40\) e tende a marcar 31. Quem usa o círculo inteiro chega a \(R = 16\).

Resposta: alternativa B.