ENEM 2017 · questão 156

Questão 156 ENEM 2017: Trigonometria

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Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de \(120^\circ\). A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.

Figura da questão

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

Figura da questão

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
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Gabarito: Alternativa D: IV.

Resolução comentada

Ideia-chave: o raio da tampa é a distância \(BC\), lado oposto ao ângulo de \(120^\circ\) num triângulo isósceles de lados 10 cm; use a lei dos cossenos.

  1. No triângulo \(ABC\): \(AB = AC = 10\ \text{cm}\) e \(\hat{A} = 120^\circ\).
  2. Lei dos cossenos: \[ R^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ \] \[ R^2 = 200 - 200 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 300 \]
  3. Logo: \[ R = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 10 \cdot 1{,}7 = 17\ \text{cm} \]
  4. Como \(15 < 17 \leq 21\), o material é do tipo IV.

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: quem toma o raio como o comprimento da haste (10 cm) marca II; quem esquece que \(\cos 120^\circ\) é negativo obtém \(R = 10\) e também erra. As coordenadas \((3, 1)\) do centro não interferem no raio.

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