ENEM 2018 · questão 170

Questão 170 ENEM 2018: Trigonometria

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Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto \(A\) representa uma de suas cadeiras:

Figura da questão

A partir da posição indicada, em que o segmento \(OA\) se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto \(O\). Sejam \(t\) o ângulo determinado pelo segmento \(OA\) em relação à sua posição inicial, e \(f\) a função que descreve a altura do ponto \(A\), em relação ao solo, em função de \(t\). Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

A expressão da função altura é dada por

  1. A
    \(F(t) = 80\operatorname{sen}(t) + 88\)
  2. B
    \(F(t) = 80\cos(t) + 88\)
  3. C
    \(F(t) = 88\cos(t) + 168\)
  4. D
    \(F(t) = 168\operatorname{sen}(t) + 88\cos(t)\)
  5. E
    \(F(t) = 88\operatorname{sen}(t) + 168\cos(t)\)
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Gabarito: Alternativa A: \(F(t) = 80\operatorname{sen}(t) + 88\).

Resolução comentada

Ideia-chave: a altura de um ponto que gira em torno de \(O\) é altura do centro + raio × seno do ângulo girado, partindo da horizontal.

  1. Sejam \(h\) a altura do centro \(O\) e \(R\) o raio. Em \(t = 0\), \(OA\) está horizontal, então \(A\) está na altura do centro: \(f(0) = h\).
  2. Girando no sentido anti-horário a partir da direita, \(A\) sobe primeiro, atinge o máximo em \(t = \tfrac{\pi}{2}\) (altura \(h + R\)), volta a \(h\) em \(t = \pi\) e chega ao mínimo \(h - R\) em \(t = \tfrac{3\pi}{2}\).
  3. Esse comportamento é descrito por \[ f(t) = h + R\operatorname{sen}(t). \]
  4. Entre as alternativas, só A tem essa forma: \(f(t) = 80\operatorname{sen}(t) + 88\), com \(f(0) = 88\) (centro), máximo \(88 + 80 = 168\) e mínimo \(88 - 80 = 8\), todos positivos (acima do solo), como o gráfico da altura exige.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: B e C usam cosseno, que daria altura máxima em \(t = 0\); D não tem termo constante (centro no solo, alturas negativas); E começa no máximo.

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