Resolução comentada
Ideia-chave: o menor caminho de A até B tocando a Rodovia 003 (o eixo \(x\)) se obtém refletindo uma das cidades em relação a esse eixo (princípio da reflexão).
- Pelo gráfico, \(A = (20, 40)\), \(B = (50, 20)\), e o ponto de conexão fica sobre o eixo \(x\).
- Reflita A em relação ao eixo \(x\): \(A' = (20, -40)\). Para qualquer ponto \(C\) do eixo, \(AC = A'C\), então \(AC + CB = A'C + CB\), que é mínimo quando \(C\) está sobre o segmento \(A'B\).
- Reta \(A'B\): o coeficiente angular é \[m = \frac{20 - (-40)}{50 - 20} = 2,\] logo \(y = 2(x - 20) - 40\).
- Cruzamento com o eixo \(x\) (\(y = 0\)): \(2(x - 20) = 40 \Rightarrow x = 40\).
- O ponto \((40, 0)\) corresponde à localização IV.
Por que não as outras: o ponto I (\(x = 20\)), logo abaixo de A, e o ponto V (\(x = 50\)), logo abaixo de B, minimizam só um dos trechos; o ponto médio entre 20 e 50 (\(x = 35\), ponto III) não leva em conta que as cidades estão a distâncias diferentes da rodovia.
Resposta: alternativa D.
