ENEM 2023 · questão 145

Questão 145 ENEM 2023: Geometria plana

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Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto \(Q_1\) representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos \(Q_2\), \(Q_3\), \(Q_4\), \(Q_5\) e \(Q_6\) também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos \(A\) e \(B\) indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador \(Q_1\) tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições \(Q_n\), \(n \in \{2, 3, 4, 5, 6\}\), cujo ângulo \(A\hat{Q}_nB\) tenha a mesma medida do ângulo \(A\hat{Q}_1B\).

Figura da questão

Qual é o jogador que receberá a bola?

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa B.

Resolução comentada

Ideia-chave: arco capaz — os pontos que "enxergam" o segmento \(AB\) sob o mesmo ângulo estão no mesmo arco de circunferência que passa por \(A\) e \(B\).

  1. O ângulo \(A\hat{Q}_1B\) é inscrito na circunferência que passa por \(A\), \(B\) e \(Q_1\).
  2. Todo ponto \(Q_n\) sobre esse mesmo arco (do mesmo lado de \(AB\)) forma com \(A\) e \(B\) um ângulo inscrito que subentende o mesmo arco \(AB\), logo de mesma medida.
  3. Pontos dentro dessa circunferência veem \(AB\) sob ângulo maior; pontos fora, sob ângulo menor.
  4. Na figura, das circunferências tracejadas por \(A\) e \(B\), a que passa por \(Q_1\) também passa por \(Q_3\). Os demais jogadores (\(Q_2\), \(Q_4\), \(Q_5\), \(Q_6\)) estão em outras circunferências.
  5. Assim, \(A\hat{Q}_3B = A\hat{Q}_1B\), e a bola vai para \(Q_3\).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: escolher o jogador mais próximo de \(Q_1\) (como \(Q_5\)) ignora que o critério é o ângulo, não a distância.

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