O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência. [figura] Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é:

FUVEST 2018 · questão 33

Questão 33 FUVEST 2018: Trigonometria

O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Figura da questão

Sendo \(x\) e \(y\) as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de \(x\) e \(y\), é:

A
\(\pi + \operatorname{sen}(2x) + \operatorname{sen}(2y)\)
B
\(\pi - \operatorname{sen}(2x) - \operatorname{sen}(2y)\)
C
\(\pi - \cos(2x) - \cos(2y)\)
D
\(\pi - \dfrac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2}\)
E
\(\pi - \dfrac{\operatorname{sen}(2x) + \operatorname{sen}(2y)}{2}\)

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Gabarito: Alternativa B: \(\pi - \operatorname{sen}(2x) - \operatorname{sen}(2y)\).

Resolução comentada

Ideia-chave: área cinza = área do círculo menos a área do quadrilátero; a diagonal (diâmetro) divide o quadrilátero em dois triângulos retângulos.

Área do círculo de raio 1: \(\pi\).
Todo triângulo inscrito com um lado sendo o diâmetro é retângulo no vértice oposto (ângulo inscrito em semicircunferência). Assim, a diagonal de comprimento 2 é hipotenusa dos dois triângulos.
Triângulo com ângulo \(x\) junto ao diâmetro: catetos \(2\cos x\) e \(2\operatorname{sen} x\). Área: \[\dfrac{2\cos x \cdot 2\operatorname{sen} x}{2} = 2\operatorname{sen} x\cos x = \operatorname{sen}(2x).\]
Analogamente, o triângulo com ângulo \(y\) tem área \(\operatorname{sen}(2y)\).
Área cinza: \[\pi - \operatorname{sen}(2x) - \operatorname{sen}(2y).\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: E aparece quando se divide por 2 duas vezes, esquecendo que \(2\operatorname{sen} x\cos x\) já é \(\operatorname{sen}(2x)\); C e D trocam a fórmula do arco duplo do seno pela do cosseno.

Resolução comentada

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