FUVEST 2018 · questão 32

Questão 32 FUVEST 2018: Polinômios e números complexos

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Considere o polinômio

\(P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\), em que \(a_0, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}\). Sabe-se que as suas \(n\) raízes estão sobre a circunferência unitária e que \(a_0 < 0\).

O produto das \(n\) raízes de \(P(x)\), para qualquer inteiro \(n \geq 1\), é:

  1. A
    0/
  2. B
    \(i^n\)
  3. C
    \(i^{n+1}\)
  4. D
    \((-1)^n\)
  5. E
    \((-1)^{n+1}\)
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Gabarito: Alternativa E: \((-1)^{n+1}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: relação de Girard para o produto das raízes, combinada com o módulo das raízes (todas com módulo 1).

  1. Para um polinômio mônico de grau \(n\), o produto das raízes é \[r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n a_0.\]
  2. Todas as raízes estão na circunferência unitária: \(|r_k| = 1\). Logo \[|r_1 r_2 \cdots r_n| = 1 \Rightarrow |a_0| = 1.\]
  3. Como \(a_0\) é real e \(a_0 < 0\), concluímos \(a_0 = -1\).
  4. Substituindo: \[r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1}.\]
  5. Teste rápido: \(n = 1\), \(P(x) = x - 1\): raiz 1, produto \(1 = (-1)^2\). Confere.

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: D é o resultado de esquecer que \(a_0 = -1\) (usando \(a_0 = 1\)); B e C confundem raízes no círculo unitário com potências de \(i\).

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