FUVEST 2020 · questão 16

Questão 16 FUVEST 2020: Geometria plana

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Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa-se \(\theta\), a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando \(\theta = 90^\circ\) é \(A\).

Figura da questão

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja \(\dfrac{A}{2}\), o valor de \(\theta\) é, necessariamente, igual a

  1. A
    \(15^\circ\).
  2. B
    \(22{,}5^\circ\).
  3. C
    \(30^\circ\).
  4. D
    \(45^\circ\).
  5. E
    \(60^\circ\).
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Gabarito: Alternativa C: \(30^\circ\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: os lados do paralelogramo não mudam (hastes rígidas); só muda o ângulo, e a área vale \(a \cdot b \cdot \operatorname{sen}\theta\).

  1. Sejam \(a\) e \(b\) os comprimentos das hastes. Com \(\theta = 90^\circ\) temos um retângulo: \[ A = a\cdot b. \]
  2. Para um ângulo \(\theta\) qualquer, a altura relativa ao lado \(a\) é \(b\operatorname{sen}\theta\), então \[ \text{Área}(\theta) = a\,b\,\operatorname{sen}\theta = A\operatorname{sen}\theta. \]
  3. Impondo área \(\dfrac{A}{2}\): \[ A\operatorname{sen}\theta = \frac{A}{2} \;\Rightarrow\; \operatorname{sen}\theta = \frac{1}{2}. \]
  4. Como \(\theta\) é o menor ângulo interno (logo \(0^\circ < \theta \le 90^\circ\)), a única possibilidade é \(\theta = 30^\circ\). O \(150^\circ\) seria o ângulo maior.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: a D (\(45^\circ\)) supõe, sem razão, que a área cai pela metade quando o ângulo cai pela metade. A área depende do seno, que não é proporcional ao ângulo.

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